认识和优化MTF
概要
这篇文章介绍了MTF相关的操作数、采样率和优化算法的选择以及获取最优MTF的设计思路。
什么是MTF？
调制传递函数（Modulation Transfer Function，MTF）是用来形容光学系统成像质量的重要指标。通过对光学系统像空间进行傅里叶变换，可以得到一张分析图表，来描述像面上对比度和空间频率之间的对应关系。
空间频率是通过聚焦的像空间上每毫米周期数（Cycles）来定义的，或者在无焦像空间中用每毫弧度或其他角度单位中的周期数来定义。“周期数（Cycles）”是描述正弦强度分布MTF响应的最精确的用词。很多情况下也会使用“线对数（Line pairs）”这一词，但严格来讲这一词只用来形容黑白相间线对目标，而非灰度值正弦变化的目标。这两种情况在Zemax OpticStudio都可以计算。
如上图所示的几何位图图像分析（Geometric Bitmap Image Analysis）中，我们可以看到图像有较好的成像质量，然而我们如何定义它有多好呢？我们可以采用不同线对数的条纹图的对比度来量化评估成像的结果。MTF描述了不同空间频率时，从物空间到像空间的调制传递函数的模数，MTF是评估透镜组性能的常用方式。并且在设计过程中，MTF经常会作为优化目标或公差分析目标。
如上图所示，这是透镜组的MTF图表，它提供了在透镜可以支持的最大空间频率下任意空间频率处的对比度。在这个例子中，我们将显示的最大空间频率设为100 cycles/mm。图中黑线表示衍射极限下的成像结果，即相同F数，但无像差的透镜组所能达到最好的对比度。当你熟悉MTF图表的意义后，你可以通过MTF曲线快速的了解透镜组的成像质量。
注：在几何位图图像分析中显示的模拟图片的分辨率受限于图像的压缩以及显示器的分辨率。Opticstudio提供的原始图片的分辨率达到摄影相片的标准。更多有关这方面的信息请参考知识库文章：How to Produce Photo-Realistic Output Images for full details
如何优化MTF
当均方根波前差（RMS Wavefront error）接近零时，MTF 分析结果将接近衍射极限。当我们需要对透镜系统在目标空间频率下进行优化时，使用默认的均方根波前差评价函数实际上非常适合进行初步优化。如果需要的话，您还可以通过设置特定的MTF优化操作数来对最后的成像结果进行调整。
计算MTF要比计算波前花费更多时间，因此我们强烈建议您先对波前进行初始优化。另外，当系统成像质量不好时，直接对MTF进行优化可能会导致优化停滞不再继续。例如我们将前文所述透镜只进行简单的离焦，我们会看到MTF会下降到零然后再次上升，如下图所示。
这被称为伪分辨率，它会造成局部优化器优化停滞，因为MTF必须先变得更差，之后只有跳出局部解才能再次提升。虽然锤优化（Hammer）和全局搜索优化（Gobal Search）会解决这个问题，但我们最好通过优化波前，使透镜组的目标MTF在其第一个极小值之内。只有这个时候，我们才建议您开始对特定MTF进行优化。
衍射MTF优化
MTF分析功能可以用图表的形式提供透镜系统支持的所有空间频率下MTF的结果，这一功能使用的MTF算法是以傅里叶衍射理论为基础的。其计算方法为追迹光瞳上网格排布的一组光线，使用快速傅里叶变化（Fast Fourier Transform）进行计算（因此该方法也称为FFT MTF）。其MTF计算结果实质为关于物方正弦强度空间频率的函数的模数（Modulation）。FFT MTF也可以计算实部、虚部、相位或方波强度分布（即黑白相间条纹）的结果。
当我们进行优化时，通常情况下只对系统特定空间频率有要求，这时没有必要对所有空间频率的MTF进行计算。因此可以使用操作数MTF*可以计算特定空间频率下的MTF结果（请查阅用户手册获取更全面的信息）。分析图表所使用的采样方法为网格采样，在使用操作数时您可以选择继续使用这种采样方法，或使用更快速的稀疏采样方法。稀疏采样是操作数默认的采样方法，并且几乎所有的优化案例中我们都建议您使用这种采样方法。
稀疏采样计算的收敛速度非常非常快，某种意义上类似于高斯求积分法。稀疏采样计算任意精度的MTF所使用的光线数量远小于网格采样。并且更重要的是，在夫琅禾费理论适用的所有情况下，稀疏采样的精度非常高。
以OpticStudio示例文件中一个双高斯系统在50lp/mm处计算多波长MTF为例，下述表格展示了两种方法随着采样率逐渐提高后的收敛速度及计算结果：
下表为相同数据下，边缘视场的计算结果：
通常来讲对于优化和公差分析这样的应用需求，收敛到1%已经足够了。即便使用仪器测量MTF也无法达到0.1%以下的重复精度。在优化过程中，我们不需要使用很高精度进行计算，通常只需要三位有效数字。两种采样方法都可以在足够的采样率下收敛到任意精度，然而快速稀疏采样在保证精度的前提下，计算速度会快很多个量级。
网格采样目前只会在一种情况下收敛更快：当像差非常大且MFT计算结果非常低（低于5%）。此时的MTF结果通常不会用来评价系统性能，并且一般不会作为优化或公差分析的目标。这种情况下Zemax OpticStudio将自动切换至网格采样进行计算。需要注意的是，此种情况下最好使用几何MTF进行计算。
几何MTF
假设我们要分析一个35mm F/1.8的单反相机镜头。系统在最大光圈时像差最严重。当减小系统光阑，像差随之减小，像面上的成像质量提高。但像面成像质量不会一直提高：光阑的衍射作用会逐渐增大，在光圈减小到一定程度时会阻止成像质量继续提高。
在系统存在许多个波长的波前差时，我们推荐您使用几何MTF计算以及优化操作数GMT*。几何MTF的计算方法是对几何点数据进行傅里叶变换，并使用高斯求积进行采样。
使用几何MTF最主要的优点在于，相比衍射MTF，几何MTF计算速度非常快。在系统存在较大像差时，使用几何MTF计算更加准确，而衍射MTF则需要庞大的采样率来使结果收敛。在这样的应用条件下，几何MTF比衍射MTF的计算速度快100倍以上。
几何MTF计算可以考虑光学表面的散射作用，表面的散射会增加像面的噪底，进而降低MTF。
操作数GMTF在全局搜索优化中非常有用，用户可以有效地搜索所有参数空间来确定更好的局部极值，即更好的光学结构。
当系统的衍射作用非常重要时，应使用衍射的方法计算MTF。
惠更斯MTF
我们已经了解了使用快速傅里叶变换计算点扩散函数和MTF的方法，其理论基础是夫琅禾费衍射理论。主要前提假设有：
1.光学系统F数足够大以使得标量衍射理论成立
2.衍射点扩散函数的显著能量分布的区域远小于系统出瞳到像面的距离
3.出瞳相比入瞳没有明显畸变。这意味着在入瞳上均匀分布的光线到达出瞳时，也应保持合理的均匀分布
4.采样率应该足够高来保证正确计算点扩散函数。
大部分光学成像系统都满足夫琅禾费衍射理论中使用快速傅里叶变换的前提假设，但有些情况并不成立。
惠更斯MTF并不是基于快速傅里叶变换进行计算的。其前提假设只包括系统F数足够大以使标量衍射理论成立，以及采样率足够高来正确计算PSF。
从知识库文章What is a Point Spread Function 中您可以了解更多惠更斯计算理论的相关内容。
事实上所有成像系统都满足计算惠更斯PSF所需要的前提假设。惠更斯MTF的计算速度要比FFT(Fraunhofer) MTF慢。但在FFT MTF前提假设不成立的情况下，惠更斯MTF计算会得到更准确的结果。
以下这种情况只能使用惠更斯MTF进行计算：系统中主光线无法完成追迹，则无法建立以主光线为中心参考的球面。在计算许多波前参数是都需要参考球面。在这样的情况下，可以改用惠更斯PSF和MTF进行计算。存在这种情况的应用实例之一是多镜面望远镜，其主光线并没有传播到像面上。
由于主光线无法追迹到像面，光程差（OPD）无法进行计算，因此基于光程差得到的所有参数都无法计算：
由于惠更斯计算不以任意一根光线作为参考，惠更斯MTF和PSF计算可以得到完美的结果。
此示例文件已保存在Zemax OpticStudio的示例文件夹中，其目录地址为：\Samples\Non-sequential\Miscellaneous\Multiple mirror telescope.ZMX惠更斯计算还有一点好处在于可以考虑多重结构（Multi-configuration）。这对于设计多镜面望远镜非常有帮助，特别是基准线很长的光学仪器系统，这种系统中主镜被拆分并相隔很长的距离。在这种情况下系统一般不会使用一个共用的入瞳，因为这样的话会使过少的光线到达主镜面导致效率很低。在这样的情况下只有使用惠更斯计算。
如果想要基于惠更斯MTF进行优化或公差分析，您可以使用操作数MTH*。
总结
调制传递函数（MTF）是光学系统设计中非常重要的指标。Zemax OpticStudio提供了几种算法来进行计算：
基于夫琅禾费衍射理论的快速傅里叶变换法是最常见的一种方法。Zemax OpticStudio计算透镜系统支持的所有空间分辨率下的MTF（虽然只显示那些目标空间频率的MTF）并将其绘制为MTF vs空间频率的曲线图。当进行优化或公差分析时，只有那些目标空间频率会被计算，对于给定精度的前提下其计算速度会比较快。如果需要的话，可以选择网格采样进行计算。
对于那些像差较大的光学系统，几何MTF会以非常快的速度计算出近似MTF。当设计处于探索阶段时，使用几何MTF是个非常好的选择，其速度和计算均方根点列图半径的速度相当。
对于不符合夫琅禾费理论的前提假设或主光线不能被追迹的系统，我们可以改用惠更斯计算，惠更斯计算MTF的结果非常准确，但唯一的缺点是计算速度相比较慢。
需要注意的是，无论采用哪种方法，MTF会随着均方根波前差接近零而接近衍射极限。因此在进行初始结构设计时，推荐您使用默认的均方根波前评价函数，在MTF图表中，系统在目标空间频率小于MTF第一个为零的极小值频率点之前，请不要以MTF作为优化目标。此外，Zemax OpticStudio中也有直接针对MTF进行优化的优化算法 —— 对比度优化（Contrast Optimization），该算法可以不受像差较大的情况下必须先对均方根波前差进行优化的限制，可直接优化得到较好的MTF值，详细内容请参阅知识库文章：Optimizing for MTF Performance using Contrast Optimization。
