ZEMAX | 详解公差分析中的Root Sum Square (RSS)

详解公差分析中的 Root Sum Square (RSS)

简介

在所有公差单独计算之后，OpticStudio 可以计算各种不同的统计数据，其中最重要的就是 "估算改变量 (Estimated Change)" 以及 “预估性能改变量 (Estimated Performance)” (本范例中为 Estimated RMS Wavefront)。OpticStudio 使用平方和的根(RSS , Root Sum Square) 方法来计算品质的估算改变量 (Estimated Change)。对于每个公差项，首先计算相对于名义值的性能改变量的平方，然后计算最小和最大公差值的平均值。最大与最小值之所以取平均是因为它们不可能同时发生，如果相加的话会导致过分悲观的预测。

堆叠问题

我们将用公差统计中的堆叠问题 (Stack Up) 说明 RSS 的计算。

问题的描述是这样的：

想象我们有 5 个木板要叠在一起，并需要估计叠在一起的总厚度。已知每一片木板的厚度都有些许不同 (现实世界总是会有误差！)，每片木板的厚度大约在25 mm±0.1 mm的范围内随机分布。假设这些木板的厚度几率是正态分布，中心是 25 mm，几率最大，25.1 mm跟24.9 mm的几率则是 e^-2，刚好是距离中心两倍标准差 (sigma) 的位置，画出来如下图。

现在问题是，如果我们叠了5块木板以后，厚度的几率分布会变成怎样？

答案是125 mm±0.224 mm。并且也会是正态分布。以125作为中心，125.224与124.776的位置发生几率恰好是e^-2。

换句话说，整个系统的总厚度：

1. 也是正态分布。

2. 正态分布中心刚好是每块木板的各自几率分布的中心的总合：5+5+5+5+5=125。

3. 整个系统正态分布几率为 e^-2 的地方，会是每块木板各自正态分布为 e^-2 时的偏差值 (deviation) 各自平方后、再加和、再开根号，也就是所谓的平方和的根 ( RSS, Root Sum Square)，你可以在Excel中输入这右边这串计算来验证：sqrt(0.1^2+0.1^2+0.1^2+0.1^2+0.1^2)。答案正是 0.224。

详细的证明可以参考 Wiki 的说明：

https://en.wikipedia.org/wiki/Sum_of_normally_distributed_random_variables

解读与假设

看到这里就能理解，平方和的根的偏差 (RSS Deviation) 代表的是整个系统最终落在这个范围内的几率是95.4%。以前面的例子来说，最终五片木板的厚度落在正负 0.224 范围内的几率是 95.4%。

必须注意的是，这样的估计方式有两个重要假设：

1. 每个变量的影响都是正态分布。例如前面例子中每个木板的厚度都是正态分布，其标准差是 0.05。(注意前面说的正负0.1是标准差的两倍，也就是 2 sigma)

2. 变量之间的关系是互相独立的。

每一片木板的厚度变化对整体厚度的影响不会受到其他木板的影响。木板 a 偏差+0.03，不论木板 b 偏差是 -0.07 还是 0.01或其他数字，木板 a 对整体系统的影响就是+0.03，不会受到其他变数大小影响。

回到光学系统公差分析

综上，回到我们的 OpticStudio 公差分析。

在看估算改变量 (Estimated Change) 时，我们应该说，如果各个公差都符合正态分布与变量互相独立的假设，则代表统计上最终会有95.4%的系统，他们距离标称值，或说原始设计值 (Nomial) 的偏差 (Criterion) 都小于估算改变量 (Estimated Change)。

而对于预估性能改变量 (Estimated Performance ) (可能是 RMS Spot Size 或其他你设定的值)，我们则可以说，95.4%以上的系统，他们的效能都会比这个数值还要 “好”。这就是为什么我们说蒙特卡罗 (Monte Carlo) 分析时，很少系统会比这个数值还差，并且可以把 RSS Performance 当作最差系统的原因。